สูตรต่างๆของเลขยกกำลังและคำอธิบาย

โพสต์นี้พี่ส้มจะอธิบายสูตรการคูณหารเลขยกกำลังที่เคยเรียนๆมา เพราะพี่ส้มเชื่อว่า มันไม่ยากเกินกว่าน้องๆจะทำความเข้าใจ และการอธิบายน่าจะดีกว่าการบอกให้ท่องจำซื่อๆโดยไม่รู้ที่มาที่ไปอะไรเลย (น้องๆโตแล้วเนอะ ไม่ใช่เด็กประถมที่ครูบอกอะไรก็ต้องเชื่อ)

อ่ะ สูตรที่ใช้กันทั่วๆไปมีประมาณนี้แหละครับ ลองดูว่าแต่ละอันมีที่มาที่ไปยังไง

กดดูคำอธิบาย

กดปิดคำอธิบาย

• \(a^m\times a^n = a^{m+n}\) คูณกัน เอาเลขชี้กำลังมาบวก
• อันนี้ไม่ยาก ก็เมื่อ \(a^m\) คือ \(a\) คูณกัน \(m\) ตัว และ \(a^n\) คือ \(a\) คูณกัน \(n\) ตัว ดังนั้น ถ้าเอา \(a^m\) มาคูณกับ \(a^n\) แล้ว มันก็จะมี \(a\) คูณกันทั้งหมด \(m+n\) ตัว ซึ่งเขียนเป็นเลขยกกำลังก็คือ \(a^{m+n}\) นั่นเอง
• ทีนี้ ถ้าเปลี่ยนจากการคูณเป็นการหาร มันก็จะมีการตัดทอนระหว่างตัวตั้งกับตัวหาร(หรือระหว่างเศษกับส่วน) ดังนั้น แทนที่จะเอาจำนวนตัวมาบวกกัน เราก็เปลี่ยนเป็นเอาจำนวนตัวมาลบกันแค่นั้นเอง เราก็จะได้สูตรถัดไปคือ
• \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) หารกัน เอาเลขชี้กำลังมาลบ
• ทีนี้ ถ้าบังเอิ๊ญบังเอิญตัวตั้งกับตัวหารมีจำนวนตัว \(a\) เท่ากัน (อย่างเช่น \(a^5\div a^5 \) อะไรงี้) เวลาใช้สูตรข้างบนเราก็จะได้ \(\dfrac{a^5}{a^5} = a^{5-5} = a^0\) แต่เราก็รู้ว่า \(a^5\div a^5 = 1\) ดังนั้นเราก็จะรู้ว่า
• \(a^0 = 1\) เมื่อ \(a\neq0\) ยกกำลัง 0 ได้ 1
• เพราะ \(a^0\) มันเกิดจากการหาร ซึ่งตัวหารห้ามเป็น 0
• ทีนี้อีก ตัวหารเราก็อาจจะมีจำนวนตัว \(a\) ที่มาคูณกันมากกว่าตัวตั้งก็ได้ถูกป่ะ (อย่างเช่น \(a^3\div a^5 \) อะไรงี้) ถ้าเราคิดไปตามสูตร เราก็จะได้ \(\dfrac{a^3}{a^5} = a^{3-5} = a^{-2}\)
• แต่เราก็รู้ว่า \(\dfrac{a^3}{a^5}\) น่ะ เวลาหารแล้วมันตัดทอนกันเสร็จ มันจะเหลือ \(a^2\) กองอยู่ที่ส่วน (\(\dfrac{a^3}{a^5} = \dfrac{a\times a\times a}{a\times a\times a\times a\times a} = \dfrac1{a^2}\))
• เทียบกันแล้วเราก็จะรู้ว่า \(a^{-2} = \dfrac1{a^2}\)
• เราก็จะได้สูตรถัดไปคือ...
• \(a^{-n} = \dfrac1{a^n}\) เตะข้ามฝั่ง เลขชี้กำลังเปลี่ยนเครื่องหมาย
• แถมนิดนึงว่า เราก็สามารถเตะ \(a^2\) ลงไปข้างล่างเป็น = \(\dfrac1{a^{-2}}\) ได้ หรือเตะ\(\dfrac1{a^{-2}}\) ขึ้นข้างบนเป็น \(a^2\) ได้เช่นกัน

• \((a^m)^n = a^{mn}\) ยกกำลังซ้อน เอาเลขชี้กำลังคูณกัน
• อันนี้ไม่ยาก(คือถ้าเข้าใจแล้วมันก็ไม่มีอะไรยากอ่ะนะ 555) เพราะ \(a^m\) คือ \(a\) คูณกัน \(m\) ตัว ดังนั้น \((a^m)^n\) ก็คือ \(a^m\) ที่มาคูณกัน \(n\) ชุด
• ก็ในเมื่อมี \(a\) อยู่ \(n\) ชุด แต่ละชุดมี \(m\) ตัว เราก็จะมี \(a\) คูณกันทั้งหมด \(m\times n\) ตัว หรือก็คือ \(a^{mn}\) นั่นเอง

• ทีนี้ ถ้าในวงเล็บเป็น \(ab\) (ซึ่งก็คือ \(a\times b\) แต่เราขี้เกียจเขียนเครื่องหมายคูณ เขียนติดกันแบบนี้เป็นอันรู้กันนะว่าเป็นการคูณ) แล้วมายกกำลัง \(m\) ก็หมายความว่า เรามี \(ab\) คูณกันอยู่ \(m\) ชุด ก็คือเรามี \(a\) คูณกันอยู่ \(m\) ตัว และก็มี \(b\) คูณกันอยู่ \(m\) ตัวเหมือนกัน เราก็เลยได้
• \((ab)^m = a^mb^m\) ในวงเล็บเป็นคูณ กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปได้
• ถ้าเราเปลี่ยนในวงเล็บจากการคูณเป็นการหาร (เปลี่ยนจาก \(ab\) เป็น \(\dfrac{a}{b}\)) มันก็คือเราเอา \(\dfrac{a}{b}\) มาคูณกัน \(m\) ชุด
• แต่เราเรียนแล้วเนอะว่าการคูณเศษส่วน ให้เราเอา"เศษคูณเศษ ส่วนคูณส่วน" ดังนั้น \(\dfrac{a}{b}\) ที่มาคูณกัน \(m\) ชุด เราก็จะได้เศษคือ \(a\) คูณกันอยู่ \(m\) ตัว และส่วนคือ \(b\) คูณกันอยู่ \(m\) ตัว นั่นเอง เราก็จะได้
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}\) ในวงเล็บเป็นหาร(ก็)กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปได้

• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^m\) กลับเศษส่วน กลับเครื่องหมายเลขชี้กำลัง
• สูตรสุดท้ายแทบจะเรียกว่าเป็นของแถม รู้ไว้ก็คิดเลขเร็วดี แต่ถึงจำไม่ได้ก็ไม่น่าจะเดือดร้อน เพราะเราได้สูตรนี้มาแบบนี้

• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-m}\)	\(=(ab^{-1})^{-m}\)	เปลี่ยน \(\dfrac1{b}\) เป็น \(b^{-1}\)
  	\(=a^{-m}b^{(-1)\cdot{(-m)}}\)	กระจายยกกำลัง\(-m\)เข้าไป
  	\(=a^{-m}b^m\)	ยกกำลังซ้อน=คูณเลขชี้กำลัง
  	\(=\dfrac{b^m}{a^m}\)	เตะ\(a^m\)ไปเป็นส่วน
  	\(=\left(\dfrac{b}{a}\right)^m\)	ดึงเลขชี้กำลังออกมา(กระจายเข้าไปได้ก็ดึงออกมาได้)